6.4 微积分基本定理

变上限函数

设 $f (x) \in R [a, b]$ , 令映射

F : [a, b] \to R, x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t,

则 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 称为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的变上限函数.
同样地, 定义 $F (x) = \int_{x}^{b} f (t) d t = - \int_{b}^{x} f (t) d t$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的变下限函数.

因为 $\int_{a}^{x} F^{'} (t) d t = F (x) - F (a)$ , 所以 $F (x) = F (a) + \int_{a}^{x} F^{'} (t) d t$ .

记 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ , 考虑复合函数 $F (φ (x)) = \int_{a}^{φ (x)} f (t) d t$ , $φ (x) \in D [α, β]$ , $R φ \subset [a, b]$ , $f (x) \in C [a, b]$ , 则根据链导公式, $[F (φ (x))]^{'} = F^{'} (φ (x)) φ^{'} (x),$ 从而若 $F (x) = \int_{φ_{2} (x)}^{φ_{1} (x)} f (t) d t$ , 有 $F^{'} (x) = f (φ_{1} (x)) \cdot φ_{1}^{'} (x) - f (φ_{2} (x)) \cdot φ_{2}^{'} (x) .$

微积分基本定理

3. 若 $f (x) \in R [a, b]$ , 则 $F (x)$ 是 $[a, b]$ 上的 Lipschitz 函数.
4. 若 $f (x) \in R [a, b]$ 且在 $x_{0}$ 处连续, 则 $F (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导, 且 $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ .
5. 若 $f (x) \in C [a, b]$ , 则 $F (x) \in D [a, b]$ , 且 $F^{'} (x) = f (x)$ , 也即此时 $F (x)$ 是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的原函数.

证明

记 $M = max_{t \in [a, b]} | f (t) |$ , 则 $\forall x, y \in [a, b]$ :

\begin{aligned} | F (x) - F (y) | & = | \int_{a}^{x} f (t) d t - \int_{a}^{y} f (t) d t | = | \int_{y}^{x} f (t) d t | \\ \leq | \int_{y}^{x} | f (t) | d t | \leq M | x - y | . \end{aligned}

由 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的连续性, $\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall t \in o (x_{0}, δ) : | f (t) - f (x_{0}) | < ε$ . 于是 $\forall x \in o ({\hat{x}}_{0}, δ)$ :

\begin{aligned} | \frac{F (x) - F (x_{0})}{x - x_{0}} - f (x_{0}) | \\ = & | \frac{1}{x - x_{0}} \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t - \frac{1}{x - x_{0}} \int_{x_{0}}^{x} f (x_{0}) d t | \\ = & \frac{1}{| x - x_{0} |} | \int_{x_{0}}^{x} [f (t) - f (x_{0})] d t | \leq \frac{1}{| x - x_{0} |} \int_{x_{0}}^{x} ε d t = ε . \end{aligned}

也即

F^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{F (x) - F (x_{0})}{x - x_{0}} = f (x_{0}) .

由 (2) 立得.